Convolução na prática
Um jeito de inverter uma transformada que é o produto de duas coisas da tabela. Você troca fração parcial por uma integral.
A ideia em uma linha
Se você sabe inverter $F(s)$ e $G(s)$ separadas, a inversa do produto é esta integral:
Essa integral se chama convolução e se escreve $(f*g)(t)$. Não é multiplicar $f$ por $g$. É somar, para cada instante $u$ entre $0$ e $t$, o valor de $g$ em $u$ vezes o valor de $f$ no tempo que falta até $t$.
Pense em ecos
Imagine que g(u) é a força de uma batida no instante $u$, e que f diz quanto de uma batida ainda se ouve depois de passado um tempo. No instante $t$, a batida dada em $u$ já tem idade $t-u$, então ela contribui com g(u) · f(t−u). O som total em $t$ é a soma de todos esses ecos: a integral de $0$ a $t$.
Veja acontecendo
Escolha um exemplo e arraste o $t$. A área vermelha do gráfico de cima é o valor da convolução naquele $t$, e ela desenha a curva verde de baixo.
Os dois números são sempre iguais: a fórmula que sai da conta no papel é exatamente a área que você está vendo.
Receita de 4 passos
Exemplo completo com a 2(a) da lista 4.4: $\;\L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^4(s^2+1)}\right\}$
-
Separe em dois fatores da tabela
$$\frac{1}{s^4(s^2+1)}=\frac{1}{s^4}\cdot\frac{1}{s^2+1}$$ -
Inverta cada fator sozinho
$$\frac{1}{s^4}\to\frac{t^3}{6}\qquad\qquad\frac{1}{s^2+1}\to\sen t$$O $6$ aparece porque $\L\{t^3\}=3!/s^4=6/s^4$.
-
Monte a integral
Numa função troque $t$ por $t-u$. Na outra, troque $t$ por $u$.
$$\int_0^t\frac{(t-u)^3}{6}\,\sen u\;du$$Tanto faz qual das duas leva o $t-u$. Aqui foi o polinômio, porque ele some depois de três derivadas.
-
Integre em u, com t fixo
Por partes três vezes: derive o polinômio, integre o seno ou cosseno. Cada colchete zera em $u=t$.
$$\frac{t^3}{6}-\int_0^t\frac{(t-u)^2}{2}\cos u\,du$$ $$\int_0^t\frac{(t-u)^2}{2}\cos u\,du=\int_0^t(t-u)\sen u\,du=t-\sen t$$$$\L^{-1}\left\{\frac{1}{s^4(s^2+1)}\right\}=\frac{t^3}{6}-t+\sen t$$É o segundo exemplo do gráfico acima. Confira lá que a área bate.
Três cuidados que evitam erro
- O $t$ é constante dentro da integral. A variável é $u$. Tudo que só tem $t$ pode sair da integral, como $e^{-(t-u)}=e^{-t}\,e^{u}$.
- A derivada de $(t-u)$ em relação a $u$ é $-1$. Esse sinal de menos é o erro mais comum na integração por partes.
- Escolha bem quem leva o $t-u$. Polinômio (some derivando) ou exponencial (separa em dois fatores) costumam ser a melhor escolha.
Quando usar cada método
| Cara do denominador | Método |
|---|---|
| Fatora em lineares, como $s(s-4)$ | Frações parciais |
| Não fatora (delta negativo), como $s^2+4s+5$ | Completar quadrado |
| Produto de dois pedaços da tabela, ou a questão pede | Convolução |
Convolução só serve para voltar de um produto em $s$. Ela não transforma produto de funções em $t$, como $t^5\cdot5^t$.
Treine
Tente no papel antes de abrir a resposta.
1. $\L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+3)}\right\}$
Ver resolução
Fatores: $\dfrac1s\to1$ e $\dfrac{1}{s+3}\to e^{-3t}$. Deixe o $1$ com o $t-u$ (ele não muda):
$$\int_0^t 1\cdot e^{-3u}\,du=\frac{1-e^{-3t}}{3}$$2. $\L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2(s-1)}\right\}$
Ver resolução
Fatores: $\dfrac{1}{s^2}\to t$ e $\dfrac{1}{s-1}\to e^{t}$. O $t-u$ vai no polinômio:
$$\int_0^t(t-u)\,e^{u}\,du=\Big[(t-u)e^{u}\Big]_0^t+\int_0^t e^{u}\,du=-t+e^{t}-1$$Resposta: $e^{t}-t-1$.
3. $\L^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s^2+1)^2}\right\}$
Ver resolução
Os dois fatores são $\dfrac{1}{s^2+1}\to\sen t$. Use $\sen a\,\sen b=\tfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$ com $a=u$ e $b=t-u$:
$$\int_0^t\sen u\,\sen(t-u)\,du=\frac12\int_0^t\big[\cos(2u-t)-\cos t\big]du=\frac{\sen t-t\cos t}{2}$$Essa não sai por fração parcial nos reais. É o caso em que a convolução é o caminho natural.